《最新定积分的计算教案精彩5篇》

作为一位不辞辛劳的人民教师，常常要根据教学需要编写教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。那么教案应该怎么制定才合适呢？

定积分的计算教案 1

高等数学教案

§6 定积分的应用

第六章

定积分的应用

教学目的

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：

1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：

1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

高等数学教案

§6 定积分的应用

§6.1 定积分的元素法

回忆曲边梯形的面积

设yf(x)0(x[a b]) 如果说积分

aaf(x)dx

b是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数

a(x)af(t)dt

x就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分da(x)f(x)dx 表示点x处

教学重点：定积分的微元法。

教学难点：

计算平面图形的面积、立体体积、平面曲线弧长、旋转曲面面积时的微元如何选取和理解。

教学时数：3学时

教学过程设计：通过大量例题来理解用微元法求定积分在几何上的各种应用。

部分例题：

(1)求平面图形的面积

由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：求曲线fx2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。

分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。

所以该曲边梯形的面积为

f21x223137xdx

31333222(2)求旋转体的体积

(i)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a

ab(ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c

cd(iii)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)与直线x=a、x=b(0a

abx2y2例如：求椭圆221所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋ab转体的体积。

分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆b2yax2(axa)，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆ax2y21所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 a2b2b2vy(ax2)aab2213a2(axx)aa3a2dxb2a2aa(a2x2)dx

4ab23椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆xa2by2,(byb)，与bx2y2y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆221所围成的图形绕

aby轴旋转一周而成的旋转体的体积为

a2a22vy(by)dy2bbb

a2213b422(byy)babb33b2bb22(bydy)

(3)求平面曲线的弧长

(i)、设曲线弧由参数方程

{x(t)(t)

y(t)给出其中'(t),'(t)在[,]上连续，则该曲线弧的长度为s'['(t)2][t(2d)。]x()(ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为rr()()，其中r'()在[,]上连续，则该曲线弧的长度为sr2()[r()']2d()。

x21例如：求曲线ylnx从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。

42解：y'x122x，于是弧长微元为

ds1y'2，x111dx1()2dx(x)dx。

22x2x所以，所求弧长为：s

e1111x21e(x)dx(lnx)1(e21)。2x224

定积分的计算教案 2

授 课 计 划（教 案）

课程名称：高等数学

章节名称：第六章 第一节 定积分的概念 使用教材：赵树媛主编，《微积分》（第四版），北京：中国人民大学出版社，2016.8 教学目的：掌握定积分的概念，培养学生建立数学模型、从具体到一般的抽象思维方式；从已知到未知的研究问题的方法，提高学生的应用能力和创新思维。

教学重点：定积分的概念

教学难点：定积分概念建立、分割的思想方法及应用

教学方法：教学采用启发式、数形结合，用多媒体辅助教学。适用层次：应用型本科。教学时间：45分钟。

教学内容与教学设计

引言

介绍牛顿和莱布尼兹两位数学家和物理学家以及在微积分方面的研究成果，重点展示在积分方面的成果。（简单提及积分产生背景）

（ppt展示肖像，简历和成就。2分钟）

一、引例

已经会用公式求长方形、梯形、三角形面积。但对一些不规则平面图形的面积计算，需要寻求其他方法计算。

（ppt展示封闭的图形及分块，特别强调曲边梯形。2分钟）

（一）求曲边梯形的面积（板书）

由xa,xb,y0与yfx0围成平面图形，求面积a=?（如图）（ppt展示）

1.分析问题

（1）用小曲边梯形的面积相加就是a；（ppt展示）

（2）用小矩形代替小曲边梯形有误差，但有计算表达式（ppt放大图形）

（3）分的越细，其和精度越高（ppt）（4）最好是都很细，或最大的都很小（ppt）

（ppt展示，4分钟）

2.分割

（1）在a,b内任意插入n1个分点：

ax0x1x2xi1xixnb

这样，把a,b分成了n个小区间x0,x1,,xi1,xi,,xn1,xn，并记小区间的长度为xixixi1,i1,2,n（ppt演示，重点说明其目的是准备用小矩形代替小曲边梯形，以便提高精度。2分钟）

（2）过每一个分点作平行于y轴的直线，这样一来，大的曲边梯形被分成n个小曲边梯形ai（小范围）。

3.近似代替

f(在第i 个小曲边梯形上任取i[xi-1,xi]，作以 [ x i, x

为底， i)为高的小矩形， 1i]并用此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积 

a i , 得

aif(i)xixixixi1，i1,2,....,n

（ppt演示，重点说明乘积的量表示什么。2分钟）

（1）求和

把n个小曲边梯形相加，就得到大曲边梯形面积的近似值

aaifixi（板书）

i1i1nn（ppt演示，重点说明，两个量的区别，让学生记住后一个表达式，这是将来应用的核心部

分。3分钟）

（2）取极限

当分点的个数无限增加，且小区间长度的最大值，即趋近于零时，上述和式极限就是梯形面积的精确值。

nn

alimai=limfixi即 max{xi},（板书）001ini1i1

（ppt演示，重点说明三个符号构成一个新的记号，重点。3分钟）

（二）变速直线运动的路程（板书）

求物体在这段时间内所经过的路程s。

n设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔t1，t2上t的连续函数，且 v(t)0,s=limviti（板书）

0i1（ppt展示上述结论，与

（一）对比，只是将符号变更，另一方面乘积的量发生了变化。

3分钟）

二、定积分的定义

定义：设函数fx在a,b上有定义，任意取分点

ax0x1x2xi1xixnb

把a,b分成n个小区间，xi-1，xi称为子区间，其长度记为xixixi1,i1,2,n。在每个子区间xi-1，xi上，任取一点ixi-1，xi，得函数值fnf()x。i，作乘积

ii

f(i)xi。把所有的乘积加起来，得和式 i1当n无限增大，且子区间长度的最大长度趋近于零时，如果上述和式的极限存在，则称fx在子区间a,b上可积，并将此极限值称为函数fx在a,b上的定积分。记作：

fxdx

ab即

fx

（板书）fxdxlima0iii1bn

（ppt展示定义，重点说明：记号和等号，左边是新的符号，右边是其表达式，即如果可以建立右边表达式，就立即将其用左边符号表示，换言之，看见左边符号，立即联想到右边的表达式。4分钟）

（板书）fxdx，变速直线运动的路程可以表示为：s=vtdt（板书）曲边梯形的面积可以表示为：aabt2t1定理

1设fx在a,b上连续，则fx在a,b上可积。

定理2 设fx在a,b上有界，且只有有限个间断点，则fx在a,b上可积。

（ppt展示定理。解释：只要满足条件，lim0fx 就可以与定积分符号划等号。

iii1n2分钟）

三、例题

利用定义计算定积分

10x2dx

（ppt展示全部计算过程及答案，说明几何意义。特别强调，以后用牛-莱公式计算，即简单又快捷，但要用到不定积分的知识，提醒学生复习已学过的相关知识。下次课介绍牛-莱公式。2分钟）

四、总结（板书）

（ppt展示定义-符号、定理，提示复习不定积分，核心表达式板书。1分钟）

五、作业（板书）

板书设计框架

第五章 第一节 定积分的概念

一、引例

（一）求曲边梯形的面积

（二）变速直线运动的路程

二、定积分定义

fx fxdxlima0iii1bn

三、例题

10x2dx=

四、总结

五、习题与提示

定积分的计算教案 3

《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等

教学时数：10学时

§ 1平面图形的面积（2 时）

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积

一、组织教学：

二、讲授新课：

（一）直角坐标系下平面图形的面积 ： 1.简单图形：

型和

型平面图形。型和

《数学分析》教案

例

5求由双纽线

所围平面图形的面积。解 倾角为 的两条直线之间).以

轴对称；以

或

.(可见图形夹在过极点，代 方程不变，图形关于 代 , 方程不变， 图形关于 轴对称。参阅p242 图10-6 因此。三、小结：

§ 2 由平行截面面积求体积（2 时）

教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积

（一）已知截面面积的立体的体积： 设立体之截面面积为 推导出该立体之体积

..祖暅原理： 夫幂势即同 , 则积不容异。(祖暅系祖冲之之子 齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初)例1

求由两个圆柱面

和

所围立体体积。p244 例1()

《数学分析》教案

和 在区间

上连续可导且

..则

上以

和

为端点的弧段的弧长为为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对 , ,有

ch 1 §1 ex 第5题(p4).其几何意义是： 在以点 超过第三边。事实上，和

为顶点的三角形中，两边之差不。为证求弧长公式， 在折线总长表达式中， 先用lagrange中值定理， 然后对式插项进行估计。如果曲线方程为极坐标形式 出其参数方程

.于是

连续可导， 则可写。§ 4 旋转曲面的面积(1 时)教学要求：旋转曲面的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积

定积分的计算教案 4

教学准备

1.教学目标

（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解

（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．

2.教学重点/难点

【教学重点】：

（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。

（2）数形结合的思想方法 【教学难点】：

利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．

3.教学用具

多媒体

4.标签

1.7.1 定积分在几何中的应用

教学过程

课堂小结